Matahari sesungguhnya selalu hadir dan ada,
Dan setiap orang terhangati olehnya.
Meskipun begitu, karena matahari tidak selamanya terlihat,
Manusia tidak mengengetahui bahwa kehangatan dan kehidupan berasal darinya.

Sabtu, 22 Oktober 2011

matematika dan perubahan musim


Di pelajaran Fisika dan geografi kita belajar bahwa di beberapa bagian bumi ini memiliki empat musim (musim panas, musim gugur, musim semi dan musim dingin) dan ada juga yang hanya memiliki dua musim (musim hujan dan musim kemarau). Tetapi saat ini saya hanya akan membahas peristiwa terjadinya empat musim. Apakah yang sebenarnya menyebabkan adanya pergantian musim tsb?
Pergantian musim di suatu daerah dipengaruhi oleh banyaknya sinar matahari yang diterima oleh wilayah tsb, silakan ditengok di sini . Banyaknya sinar matahari di sini diukur dari durasi matahari menyinari wilayah tsb. Jadi suatu daerah akan mengalami musim panas jika durasi matahari bersinar lama, sedangkan durasi siang yang pendek akan berimbas pada terjadinya musim dingin.
Bagaimana matematika bisa berbicara tentang pergantian musim?
Matematika yang digunakan dalam konteks astronomi adalah geometri dan trigonometri; yaitu spherical geometry dan spherical trigonometry (sphere = bola). Langkah awal dalam matematika – astronomi adalah mengkonstruksi celestial sphere, yaitu suatu bola maya di alam semesta di mana bumi merupakan pusat bola tsb. Pemilihan bumi sebagai pusat celestial sphere bukan karena bumi merupakan pusat tata surya, tetapi karena bumi merupakan posisi pengamat.
Sebelum pembahasan lebih lanjut silakan disimak gambar berikut:
season.jpg
(Berhubung sedang malas menggambar maka gambar saya scan dari buku “Spherical Astronomy” karangan W.M. Smart dari Cambridge University)
Seperti telah disebutkan di awal bahwa pergantian musim tergantung pada banyaknya (lamanya) sinar matahari. Pada gambar di atas lingkaran ecliptic adalah perubahan-perubahan posisi  matahari relatif terhadap bumi (INGAT…bukan posisi matahari mengelilingi bumi. Beda lho…). Seperti terlihat pada gambar di atas, posisi matahari dan bumi senantiasa berubah sepanjang tahun dan pada bulan Juni dan Desember matahari berada pada posisi terjauh dari ekuator (bukan terjauh dari bumi lho). Mohon diingat ekuator pada gambar di atas bukanlah ekuator bumi tetapi ekuator celestial sphere (yaitu bidang orbit bumi mengelilingi matahari) karena bumi pada gambar di atas adalah titik Esebagai pusat celestial sphere. Perbedaan posisi matahari terhadap ekuatorcelestial sphere menyebabkan sudut arah pancar sinar matahari terhadap ekuator bumi juga berubah-ubah. Perubahan dan perbedaan posisi matahari menyebabkan adanya sudut deklinasi, yaitu kemiringan arah sinar matahari yang jatuh di permukaan bumi terhadap ekuator bumi. Besarnya sudut deklinasi matahari pada bulan Juni adalah 23o27′ sedangkan pada bulan Desember adalah sebaliknya, yaitu – 23o27′. Informasi tentang sudut deklinasi bisa dilihatdi sini.
Tambahan untuk menghindari kesalahan persepsi:
Mungkin rekan-rekan sudah akrab dengan kemiringan poros bumi sebesar 23,5o. Sudut sebesar 23,5o tersebut disebut sudut inklinasi bumi, yaitu sudut antara poros bumi dengan bidang orbit bumi.
Sedangkan sudut yang akan saya pakai selanjutnya dalam tulisan di sinibukanlah sudut inklinasi bumi tetapi sudut DEKLINASI matahari. Lalu apa bedanya sudut inklinasi dan sudut deklinasi?
Tentang definisi deklinasi dan inklinasi sudah saya tulis di atas, tetapi untuk lebih jelasnya begini…
Sebenarnya munculnya deklinasi dan inklinasi itu disebabkan oleh fenomena alam yang sama, yang menyebabkan munculnya dua sudut yang berbeda tsb hanyalah sudut pandang saja. Sudut inklinasi bisa dilihat sebagai bumi relatif terhadap bidang orbit bumi, sedangkan sudut deklinasi bisa dilihat sebagaimatahari relatif terhadap ekuator bumi.
Lalu kenapa saya lebih memakai sudut deklinasi, bukannya sudut inklinasi?
Saya memakai sudut deklinasi karena saya menggunakan pendekatan matematika astronomi dalam membahas masalah musim ini. Dalam matematika astronomi sekali lagi kita menggunakan celestial sphere (silakan dilihat lagi di atas) dan kita lebih menggunakan sudut deklinasi karena dalam celestial sphere bumi adalah pusat bola sehingga kita tdk memakai sudut yang dimiliki bumi itu sendiri (yaitu inklinasi) tetapi kita memakai sudut yang dibentuk titik-titik pada bola tsb (misal matahari, bintang atau planet lain) terhadap bumi sebagai pusat; yaitu sudut deklinasi.
Selain itu sepertinya sudah banyak yang membahas pergantian musim dengan menggunakan sudut inklinasi, jadi saya ingin tampil beda hehehe…
*************************
Sekarang mari kita menghitung durasi siang….
Durasi siang dirumuskan sebagai 2H, dimana H (dalam satuan jam) adalah sudut-sudut yang terbentuk pada interval antara jam 0 dan jam 12. Karena durasi satu hari adalah 24 jam, maka sudut terbesar pada interval jam 0 dan 12 adalah 180o (karena 24 jam berarti 360o).
Besarnya nilai H diperoleh dengan menggunakan rumus berikut:
rumus.jpg
Sekadar contoh perhitungan, maka saya pilih kota Utrecht:
Kota Utrecht memiliki koordinat posisi 52,083o Lintang Utara dan 5,13o Bujur Timur (selanjutnya ordinat garis busur tidak dibutuhkan dalam perhitungan).
Musim Panas:
Pada tanggal 21 Juni deklinasi sebesar 23o27′ , sehingga setelah nilai latitude Utrecht dan deklinasi dimasukkan ke rumus maka akan diperoleh nilai cos H = – 0,55.
Nilai cos H = -0,55 maka besar sudut H adalah 123,5o yang berarti nilai H adalah 8,233 jam.
Berarti pada tanggal 21 Juni matahari akan bersinar di atas kota Utrecht selama 2 x 8,233 jam, yaitu 16, 466 jam.
Durasi siang yang mencapai 16,466 jam cukup membuat kota Utrecht berlimpah cahaya matahari berimbas pada terjadinya musim panas, lebih tepatnya 21 Juni secara teoritis merupakan puncak musim panas.
Musim dingin:
Pada tanggal 21 Desember deklinasi sebesar -23o27′ , sehingga setelah nilai latitude Utrecht dan deklinasi dimasukkan ke rumus maka akan diperoleh nilaicos H = 0,55.
Nilai cos H = 0,55 maka besar sudut H adalah 56,64o yang berarti nilai H adalah 3,776 jam.
Berarti pada tanggal 21 Desember matahari akan bersinar di atas kota Utrecht hanya selama 2 x 3,776 jam, yaitu 7,552 jam.
Durasi siang yang hanya 7,552 jam menyebabkan kota Utrecht hanya menerima sedikit sinar matahari yang akhirnya akan berimbas pada terjadinya musim dingin, lebih tepatnya 21 Desember secara teoritis merupakan puncak musim dingin.
Musim semi dan musim gugur:
Seperti bisa kita lihat pada gambar, pada tanggal 21 Maret (puncak musim semi) dan 21 September (puncak musim gugur) posisi matahari sama-sama tepat di ekuator bumi sehingga kedua musim tersebut memiliki durasi siang yang sama. Yaitu:
Posisi matahari pada ekuator itu berarti bahwa sudut deklinasinya 0o sehingga setelah nilai tersebut kita masukkan ke rumus cos H kita akan mendapatkan nilai cos H = 0 (karena tan 0o). Jadi besar sudut H adalah 90o yang berarti nilai H adalah 6 jam. Jadi secara teoritis pada musim semi dan musim gugur durasi siang akan sama, yaitu sekitar 2×6 jam = 12 jam. Dan durasi siang pada tanggal 21 secara teoritis selama 12 jam)
Kenapa dengan durasi siang yang sama bisa terjadi dua musim yang berbeda?
Hal tsb terjadi karena pada musim semi yang terjadi adalah proses kenaikan suhu (dari musim dingin menuju musim panas) sedangkan pada musim gugur yang terjadi adalah proses penurunan suhu (dari musim panas menuju musim dingin).
*************************
Oh iya, kenapa daerah-daerah yang terletak pada garis katulistiwa memiliki durasi siang yang hampir mendekati 12 jam sepanjang waktu?
Daerah yang terletak pada katulistiwa mempunyai latitude 0o (ingat latitude adalah sudut yang dibentuk antara garis katulistiwa dengan posisi di bagian utara-selatan bumi).
Ketika nilai latitude = 0o dimasukkan ke rumus cos H, maka berapa pun nilai deklinasi yang diberikan akan selalu menghasilkan nilai cos H = 0 (karena tan 0 = 0).
cos H = 0 maka besar sudut H adalah 90o yang berarti nilai H adalah 6 jam. Sehingga durasi siang hari adalah 2 x 6 jam = 12 jam.
Sudah terjawab kan kenapa sepanjang tahun kita di Indonesia selalu mengalami siang hari selama 12 jam. Lalu kenapa Indonesia yang selalu memiliki durasi siang konstan bisa memiliki 2 musim yang berbeda? Jawabannya adalah pengaruh angin.
*************************
Untuk mengetahui bagaimana durasi matahari di daerah-daerah lain, silakan dihitung sendiri hehehe.
Tetapi secara umum dapat diketahui sebagai berikut:
1. Untuk daerah di sebelah utara katulistiwa.
Daerah-daerah tersebut memiliki latitude bernilai positif maka untuk daerah di utara katulistiwa akan berlaku:
  • Pada bulan Juni akan memiliki nilai cos H negatif sehingga besar sudut H lebih besar dari 90o. Hal ini berarti durasi siang hari di daerah-daerah tersebut akan lebih lama dari 12 jam, seberapa lamanya tergantung posisi koordinat masing-masing daerah.
  • Pada bulan Desember akan memiliki nilai cos H positif sehingga besar sudut H lebih kecil dari 90o. Hal ini berarti durasi siang hari di daerah-daerah tersebut akan kurang dari 12 jam, seberapa lamanya tergantung posisi koordinat masing-masing daerah.
2. Daerah di sebelah selatan katulistiwa:
Sebaliknya, daerah-daerah di sebelah selatan katulistiwa memiliki latitude bernilai negatif sehingga berlaku:
  • Pada bulan Juni akan memiliki nilai cos positif sehingga besar sudut H lebih kecil dari 90o. Hal ini berarti durasi siang hari di daerah-daerah tersebut akan kurang dari 12 jam, seberapa lamanya tergantung posisi koordinat masing-masing daerah.
  • Pada bulan Desember akan memiliki nilai cos H negatif sehingga besar sudut H lebih besar dari 90o. Hal ini berarti durasi siang hari di daerah-daerah tersebut akan lebih lama dari 12 jam, seberapa lamanya tergantung posisi koordinat masing-masing daerah.
*************************
Fakta di kutub utara dan kutub selatan:
Kutub utara secara teoritis memiliki latitude 90o sedangkan kutub selatan secara teoritis memiliki latitude – 90(karena kedua kutub terletak pada titik yang memiliki posisi tegak lurus dengan bidang ekuator).
Sehingga jika dimasukkan ke rumus cos H kita akan mendapatkan nilai cos H sebesar tak terhingga (positif dan negatif) karena besar nilai tangen 90o dan – 90adalah tak terhingga (dengan menggunakan konsep limit). Daftar besar nilai tangen beberapa sudut istimewa silakan bisa dilihat di sini . Nilai cos H yang tak hingga menyebabkan kita tidak bisa menentukan besar sudut H karena sejauh ini itu adalah sesuatu yang mustahil karena nilai maksimal cosinus suatu sudut adalah 1 dan nilai minimal cosinus adalah -1. Jadi secara teoritis (berdasarkan rumus cos H di atas) kita tidak dapat menentukan durasi siang di kedua kutub tersebut.
Tetapi pada kenyatannya di kutub yang terjadi adalah pergantian siang dan malam hari terjadi setiap enam tahun sekali. Pada tanggal 21 Maret sampai 20 September kutub utara mengalami siang hari selama 6 bulan sedangkan kutub selatan mengalami malam hari. Begitu juga sebaliknya, pada tanggal 21 September sampai 20 Maret kutub utara gantian mengalami malam hari terus sedangkan kutub selatan siang hari terus.
Jadi fenomena kutub ini tidak terpecahkan dengan menggunakan rumus cos H di atas